Toets voor één steekproef, onbekende standaardfout

Een steekproef, continue variabele

Voorbeeld: Is het fosfaatgehalte op de akkers van een landbouwbedrijf gemiddeld hoger of lager dan het landelijk gemiddelde van 1.2 mg per kg? Er zijn n = 7 monsters genomen met de volgende uitkomsten: 3.4, 2.1, 1.5, 7.9, 4.4, 1.8, en 6.2 mg per kg. Het steekproefgemiddelde van deze uitkomsten is = 3.90. De steekproefstandaardafwijking is s = 2.42 met n - 1 = 6 vrijheidsgraden.

Bij dit type proefopzet met één steekproef en een continue meetvariabele met onbekende standaardafwijking is de toetsingsgrootheid:

De toetsingsgrootheid moet (bij benadering) de t-verdeling hebben. Dit is het geval, als de populatieverdeling van de waarnemingen normaal is óf als de steekproefomvang voldoende groot is (vuistregel: n > 10), zie centrale limietstelling.

De nulhypothese is hier H0: μ = 1.2 en de alternatieve hypothese is H1: μ 1.2. We toetsen hier met tweezijdig alternatief, omdat de vraagstelling is of de 7 akkers gemiddeld meer of minder fosfaat dan 1.2 mg per kg bevatten. Bij tweezijdig toetsen moet de overschrijdingskans worden vergeleken met α/2 = 0.025, als we als significantieniveau α = 0.05 kiezen.

In dit voorbeeld is = 3.90 - 1.2 = 2.70 en s/n = 0.915, zodat T = 2.70 / 0.915 = 2.95. De overschrijdingskans van de gevonden waarde is P(T > 2.95) = 0.016. Deze waarde is kleiner dan α/2 = 0.025, zodat de nulhypothese kan worden verworpen. Op grond van de in de 7 monsters gevonden fosfaatgehaltes van gemiddeld 3.90 mg per kg mag de conclusie worden getrokken, dat het gemiddelde fosfaatgehalte van de akkers van dit bedrijf statistisch significant afwijkt van het landelijk gemiddelde van 1.2 mg per kg.

Opmerking. De standaardafwijking wordt hier door twee spreidingsbronnen bepaald: de analysefout en de variatie in het fosfaatgehalte tussen de akkers. Beide zijn onbekend en dus moet de standaardafwijking worden geschat uit de standaardafwijking in de steekproef.

Opmerking. Toetsen, waarbij de toetsingsgrootheid de t-verdeling heeft worden vaak Student's t-toets of kortweg t-toets genoemd.