Hypergeometrische verdeling

Discrete kansverdelingen

Overschrijdingskansen v/d hypergeometrische verdeling

Verwachtingen v/d hypergeometrische verdeling

In steekproeven uit een dichotome populatie van onbeperkte omvang hebben de aantallen successen de binomiale verdeling. Als de populatie waaruit de steekproeven worden getrokken slechts beperkt van omvang is, hebben de aantallen successen daarentegen de hypergeometrische verdeling.

Steekproeven kunnen met of zonder teruglegging worden getrokken: de eenheden worden één voor één getrokken en teruggelegd in de populatie (binomiale verdeling) of niet teruggelegd (hypergeometrische verdeling). In het eerste geval verandert de samenstelling van de populatie na iedere trekking niet, in het laatste geval wel. Bij niet terugleggen zijn de achtereenvolgende trekkingen niet onafhankelijk: de kans op een succes hangt af van het resultaat (succes of niet) van de voorgaande trekking. De waarde van de proportie successen in de populatie, π, verandert na iedere trekking. In een onbeperkt grote (of zeer grote) populatie maakt teruglegging niet uit en gaat de hypergeometrische verdeling over in de binomiale verdeling.

De kans op x successen in een steekproef van n observaties uit een populatie met omvang N, waarin zich Nπ succesen bevinden is:

In deze vergelijking voor de hypergeometrische kansverdeling staat de notatie voor de binomiaalcoëfficiënt.

Voorbeeld. In een ziekenhuisapotheek worden 50 ampullen van een weinig toegepaste steriele injectievloeistof bereid. Als er in deze charge precies één niet-steriel exemplaar zit, hoe groot is dan de kans, dat die ene ampul in een steekproef van 10 ampullen wordt gevonden? De omvang van de populatie is N = 50, de steekproefomvang is n = 10 en de proportie niet-steriele exemplaren in de populatie is π = 0.02. De gevraagde kans is dus:

We zien in dit voorbeeld, dat steekproefsgewijze controle op deze wijze uitgevoerd weinig zekerheid biedt over de kwaliteit van de populatie.

Quizz