Verwachtingswaarden

Kansverdelingen

Als van een kansvariabele X de kansverdeling bekend is, dus als P(X = x) = P(x) bekend is voor alle waarden x, dan kunnen we de verwachtingswaarde E(X) van X uitrekenen. Deze is voor discrete kansverdelingen gedefinieerd als de som van alle waarden x, ieder vermenigvuldigd met de kans dat hij optreedt:

E(X) = SxP(x)

Voor continue kansverdelingen geldt de overeenkomstige uitdrukking:

E(X) = òxf(x)dx

De verwachting(swaarde) van X, E(X), wordt populatiegemiddelde genoemd en is bij een kansverdeling, wat het rekenkundig gemiddelde is bij een frequentieverdeling. E(X) wordt vaak met de Griekse letter m aangeduid, dus E(X) = m. E(X) is bij een kansspel de gemiddelde opbrengst aan prijzen, vandaar de naam 'verwachting'.

Voorbeeld. We spelen met een gewone dobbelsteen en spreken af, dat ik jou het aantal geworpen ogen in euro's uitbetaal, terwijl jij mij voor iedere worp 31/2 euro betaalt. Is dat een 'fair deal'? Jouw winst is gemiddeld per worp:

E(X) = SxP(x) = 1x1/6 + 2x1/6 + 3x1/6+ 4x1/6+ 5x1/6+ 6x1/6 = 31/2 euro

en dat is precies wat je betaalt, dus er is niets mis met de deal.

De verwachting van de deviaties X - m is altijd gelijk aan 0, want E(X - m) = E(X) - E(m) = m - m = 0. Een belangrijker grootheid is de verwachting van het kwadraat van de deviaties, gedefinieerd als:

E(X - m)2 = S(x - m)2P(x)

Voor continue kansverdelingen geldt de overeenkomstige uitdrukking:

E(X - m)2 = ò(x - m)2f(x)dx

Deze grootheid wordt populatievariantie genoemd en is equivalent met de variantie bij een frequentieverdeling. De populatievariantie wordt met s2 aangeduid, dus E(X - m)2 = s2.